代数不等式入门

《代数不等式入门》在手，高中数学竞赛无忧

作者: 杨飞
出版社: 哈尔滨工业大学出版社
ISBN: 9787576707168
出版时间: 2023-04
版次: 1
印刷时间: 2023-04

印次: 1
装帧: 平装
开本: 16开
页数: 266页
字数: 313千字

作者: 杨飞
出版社: 哈尔滨工业大学出版社
ISBN: 9787576707168
出版时间: 2023-04

版次: 1
印刷时间: 2023-04
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开本: 16开
页数: 266页
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自然科学

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作者简介
杨飞：毕业于西南师范大学数学系，重庆南开中学正高级教师，重庆“322”重点人才(二层次)，重庆学术技术带头人后备。主持省市级课题2项，主研省部级课题2项；参与编写了大学教材《小学数学教育概论》和重庆地方教材《研究性学习》；出版著作《数学与生活》《数学解题泄天机》，在《数学教育学报》《数学通报》等杂志发表论文70多篇，其中核心期刊20多篇；指导学生在《数学通报》等杂志发表文章17篇，指导10多名学生进入全国高中数学奥林匹克冬令营。编撰数学歌曲5首，撰写故事数学38篇（见公众号好玩的数学·辛酉丑故事数学专栏）；个人事迹曾在重庆商报、重庆晚报、慢新闻、大渝网、梨视频（科学一代人、宝藏老师）、重庆发布和学习强国等媒体报到或转载

内容简介

本书对基本不等式和Cauchy不等式进行了深化和细化，介绍了等号成立条件法、Cauchy求反技术、配方法、局部法、切线法、割线法、增量法、平衡系数法和调整法的应用。又介绍了排序定理、Chebyshev不等式、Hölder不等式、Schur不等式、Jensen不等式的应用。既有对称型不等式的证明，也有非对称型不等式，还有含参数问题和最值问题。对于难度较大的半凸半凹型问题，介绍了Pham Kim Hung的对称分离法和和凸多边形重心性质的应用。书中典型的例题、代表性的作业题和高中数学竞赛真题选讲，可以提升学生的数学素养和竞赛能力。

本书历经多年教学实践，实效显著。可作为中学数学英才培养教材，也可作为数学教师专业发展的参考书和数学爱好者的学习用书，还可以作为师范院校数学系学生的课外读物。

前言

不等式的研究者很多，有大学教授，有中学教师，还有既非数学专业又非教师的跨界朋友。他们在不等式研究群中热烈讨论，还编辑出版《不等式通讯》和《初等数学研究在中国》；有的研究几何不等式，有的研究代数不等式，可谓高手如云。关于不等式的论文和专著更是浩如烟海，仅数学奥林匹克中的不等式这一小领域，也有很多优秀著作。比《初等不等式的证明方法》（韩京俊编著）、《不等式秘密》（范建熊著）。面对如此众多的不等式著作，确实不敢下笔成文。但是，作为一线教师和数学英才教练，代数不等式是每一个数学奥林匹克竞赛参与者的必修课，对于不等式的初学者，如果选择《奥赛经典》作为教程，简单的几节不等式内容显得单薄；如果选择《不等式秘密》作为教程，高深复杂的内容又难以理解；其他著作，大多讲的是对称不等式，而国内竞赛中涉及的不等式多是非对称不等式。另外，目前国家重视学科英才培养，涌现出多项英才培养计划，如强基计划、领军计划和新领军计划，大大推动了数学英才培育工程的发展，为了早出人才，快出人才，根据教学需求，斗胆自编校本教材。

笔者担任数学竞赛教练20多年，曾负责学校学科英才培养的教学与管理，为了推动学校数学英才培养工作的开展，笔者结合自己的讲稿和国内外不等式专家的研究成果，编写了本书，经过近五届学生中试用，有2名学生入选国家集训队，有3名学生入选清华数学领军计划，有10多名学生获CMO金牌，还有2名学生入选中国科技大学大年班和创新试点班。本书可以作为不等式初学者入门读本，也可以作为年轻教练的教学参考书。

本书风格不同于传统教材，章节风格不一。例题多少不等，课后作业量不同，解答详略也不一致。表面上看似“无章无法”“不合规矩”，但也许更切合实际，突出学生数学素养的培养。例如，传统的不等式证明重视技巧，本书例题的解答却淡化技巧，突出通法。旨在让学生解一题，通一类。又如，有的公式前后两节重复出现，目的在于暗示公式的重要性，强化学生记忆；又如，利用基本不等式求最值和证明不等式，本是中学数学中的小儿科内容，我们不仅编写了8节内容，还配制大量的例题和作业题，目的在于巩固双基，保证初学者扎实掌握高中教材要求的基本内容。再如，“对称分离证明不等式”，这一节内容较难，编写时不仅例题少，而且习题也少。目的在于让初学者了解半凸半凹型不等式的证明思想和基本方法，为学生继续学习奠定基础。每一节的例题解答详略也不一致，介绍方法的例题表述细致，突出解题思路的发现过程，方便学生自学；方法应用的例题，表述简略或者只有提示，留给读者思考空间。

本书的学习需要具备高中函数、三角、数列和导数等知识。根据笔者的教学经验，数学爱好者两年学习初、高中内容和本书内容，难度较大，建议两年半至三年完成上述内容较为合理。每一节预设2-4课时（1课时45分钟），教学时可以根据实际情况进行取舍，突出解题思想方法，不必详细讲解每一个例题。此书只是不等式爱好者的入门读本，若要提升数学能力，建议学习其他不等式著作。

对于如何提升学生的数学技能和数学素养？本是教育中的复杂问题。如果盲目地刷题，必然费时费力。我们认为应该先让学生掌握一些重要知识和典型方法，然后在此基础上做一定的练习题，如此方可增强其应变能力和创新能力。但是，代数不等式的研究成果庞杂丰富，考虑到数学竞赛和学生发展的需要，我们挑选一些切合中学教学实际的方法。有的方法以为是个人心得，也许前人早已发现。书中例题有的来源其他竞赛教程，有的来源网络，少数解答借鉴了前人成果，大部分解答是笔者独立完成。特别是独立完成的解答，可能比前人的解答复杂，也可能存在疏漏，恳请读者批评指正。

在本书的编写过程中，得到了许多朋友的鼓励和帮助，在此对他们表示衷心感谢。感谢学校领导的鼓励与支持，感谢陈荣主编题写书名，感谢温超和洪春两位教练利用此书进行教学实践，感谢杨孟、贺卡、代攀、赵毅、杨利平、朱春燕、樊洪森和陈星几位教师不辞辛劳的校对。

目录

§1  不等式的基本性质//1

§2  利用基本不等式证明不等式(1)//9

§3  利用基本不等式求最值（1）//16

§4  利用均值不等式证明不等式（2）//24

§5  利用基本不等式求最值（2）//36

§6  基本不等式求最值自测题//43

§7  等号成立条件法证明不等式//49

§8  Cauchy求反技术的应用//60

§9  解不等式与不等式解集的性质//67

§10  配方法证明不等式//74

§11  局部法证明不等式//83

§12  Cauchy不等式的应用//94

§13  Hölder不等式的应用//111

§14  排序定理的应用//120

§15  Chebyshev不等式与其他定理联合应用//127

§16  schur不等式的应用//137

§17  切线法与割线法证明不等式//148

§18  非对称不等式中的平衡系数法//159

§19  对称分离证明不等式//169

§20  Jensen琴生不等式与凸多边形重心性质的应用//183

§21  换元法与增量法证明不等式//194

§22  调整法证明不等式//209

§23  含参数的不等式//227

§24  不等式证明中的其他方法与工具//239

§25  高中数学联赛中的不等式试题选讲//251

参考文献//266
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