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[美] 阿波斯托尔 著; 邢富冲 译 / 机械工业出版社 / 2006-03 / 平装
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数学分析:原书第2版
《数学分析》(原书第2版)是美国著名的数学分析教材,涵盖了初等微积分以及实变函数论和复变函数论等内容,涉及现代分析的最新进展。书中包含大量覆盖各个方面、各级难度的习题,通过习题的训练,可以培养学生的运算技能和对数学问题的思维能力。《数学分析》(原书第2版)条理清晰,内容精练,言简意赅,可作为高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等专业学生的教材,同时也可作为数学工作者和科技人员的参考书。
TomM.Apostol是加州理工学院数学系荣誉教授。他于1946年在华盛顿大学西雅图分校获得数学硕士学位,于1948年在加州大学伯克利分校获得数学博士学位。他的著述很多,除本书外,还著有《Calculus,One-VariableCalculuswithanIntroductiontoLinearAlgebra》、《Calculus,Multi-VariableCalculusandLinearAlgebrawithApplications》等。
第1章实数系与复数系1.1引言1.2域公理1.3序公理1.4实数的几何表示1.5区间1.6整数1.7整数的唯一因数分解定理1.8有理数1.9无理数1.10上界,最大元,最小上界(上确界)1.11完全公理1.12上确界的某些性质1.13从完全公理推演出的整数性质1.14实数系的阿基米德性质1.15能用有限小数表示的有理数1.16用有限小数逼近实数1.17用无限小数表示实数1.18绝对值与三角不等式1.19柯西施瓦茨不等式1.20正负无穷和扩充的实数系R*1.21复数1.22复数的几何表示1.23虚数单位1.24复数的绝对值1.25复数排序的不可能性1.26复指数1.27复指数的进一步性质1.28复数的辐角1.29复数的整数幂和方根1.30复对数1.31复幂1.32复正弦和复余弦1.33无穷远点与扩充的复平面C*练习进一步参考文献第2章集合论的一些基本概念2.1引言2.2记号2.3序偶2.4两个集合的笛卡儿积2.5关系与函数2.6关于函数的进一步的术语2.711函数及其反函数2.8复合函数2.9序列2.10相似(对等)集合2.11有限集与无限集2.12可数集与不可数集2.13实数系的不可数性2.14集合代数2.15可数集的可数族练习进一步参考文献第3章点集拓扑初步3.1引言3.2欧氏空间Rn3.3Rn中的开球与开集3.4R1中开集的结构3.5闭集3.6附贴点,聚点3.7闭集与附贴点3.8波尔查诺魏尔斯特拉斯定理3.9康托尔交定理3.10林德勒夫覆盖定理3.11海涅博雷尔覆盖定理3.12Rn中的紧性3.13度量空间3.14度量空间中的点集拓扑3.15度量空间的紧子集3.16集合的边界练习进一步参考文献第4章极限与连续性4.1引言4.2度量空间中的收敛序列4.3柯西序列4.4完备度量空间4.5函数的极限4.6复值函数的极限4.7向量值函数的极限4.8连续函数4.9复合函数的连续性4.10连续复值函数和连续向量值函数4.11连续函数的例子4.12连续性与开集或闭集的逆象4.13紧集上的连续函数4.14拓扑映射(同胚)4.15波尔查诺定理4.16连通性4.17度量空间的分支4.18弧连通性4.19一致连续性4.20一致连续性与紧集4.21压缩的不动点定理4.22实值函数的间断点4.23单调函数练习进一步参考文献第5章导数5.1引言5.2导数的定义5.3导数与连续性5.4导数代数5.5链式法则5.6单侧导数和无穷导数5.7具有非零导数的函数5.8零导数与局部极值5.9罗尔定理5.10微分中值定理5.11导函数的介值定理5.12带余项的泰勒公式5.13向量值函数的导数5.14偏导数5.15复变函数的微分5.16柯西黎曼方程练习进一步参考文献第6章有界变差函数与可求长曲线6.1引言6.2单调函数的性质6.3有界变差函数6.4全变差6.5全变差的可加性6.6在[a,x]上作为x的函数的全变差6.7有界变差函数表示为递增函数之差6.8有界变差连续函数6.9曲线与路6.10可求长的路与弧长6.11弧长的可加性及连续性性质6.12路的等价性,参数变换练习进一步参考文献第7章黎曼斯蒂尔切斯积分7.1引言7.2记号7.3黎曼斯蒂尔切斯积分的定义7.4线性性质7.5分部积分法7.6黎曼斯蒂尔切斯积分中的变量替换7.7化为黎曼积分7.8阶梯函数作为积分函数7.9黎曼斯蒂尔切斯积分化为有限和7.10欧拉求和公式7.11单调递增的积分函数,上积分与下积分7.12上积分及下积分的可加性与线性性质7.13黎曼条件7.14比较定理7.15有界变差的积分函数7.16黎曼斯蒂尔切斯积分存在的充分条件7.17黎曼斯蒂尔切斯积分存在的必要条件7.18黎曼斯蒂尔切斯积分的中值定理7.19积分作为区间的函数7.20积分学第二基本定理7.21黎曼积分的变量替换7.22黎曼积分第二中值定理7.23依赖于一个参数的黎曼斯蒂尔切斯积分7.24积分号下的微分法7.25交换积分次序7.26黎曼积分存在性的勒贝格准则7.27复值黎曼斯蒂尔切斯积分练习进一步参考文献第8章无穷级数与无穷乘积8.1引言8.2收敛的复数序列与发散的复数序列8.3实值序列的上极限与下极限8.4单调的实数序列8.5无穷级数8.6插入括号和去掉括号8.7交错级数8.8绝对收敛与条件收敛8.9复级数的实部与虚部8.10正项级数收敛性的检验法8.11几何级数8.12积分检验法8.13大O记号和小o记号8.14比值检验法和根检验法8.15狄利克雷检验法和阿贝尔检验法8.16几何级数∑zn在单位圆|z|=1上的部分和8.17级数的重排8.18关于条件收敛级数的黎曼定理8.19子级数8.20二重序列8.21二重级数8.22二重级数的重排定理8.23累次级数相等的一个充分条件8.24级数的乘法8.25切萨罗可求和性8.26无穷乘积8.27对于黎曼ζ函数的欧拉乘积练习进一步参考文献第9章函数序列9.1函数序列的点态收敛性9.2实值函数序列的例子9.3一致收敛的定义9.4一致收敛与连续性9.5一致收敛的柯西条件9.6无穷函数级数的一致收敛9.7一条填满空间的曲线9.8一致收敛与黎曼斯蒂尔切斯积分9.9可以被逐项积分的非一致收敛序列9.10一致收敛与微分9.11级数一致收敛的充分条件9.12一致收敛与二重序列9.13平均收敛9.14幂级数9.15幂级数的乘法9.16代入定理9.17幂级数的倒数9.18实的幂级数9.19由函数生成的泰勒级数9.20伯恩斯坦定理9.21二项式级数9.22阿贝尔极限定理9.23陶伯定理练习进一步参考文献第10章勒贝格积分10.1引言10.2阶梯函数的积分10.3单调的阶梯函数序列10.4上函数及其积分10.5黎曼可积函数作为上函数的例子10.6一般区间上的勒贝格可积函数类10.7勒贝格积分的基本性质10.8勒贝格积分和零测度集10.9莱维单调收敛定理10.10勒贝格控制收敛定理10.11勒贝格控制收敛定理的应用10.12无界区间上的勒贝格积分作为有界区间上的积分的极限10.13反常黎曼积分10.14可测函数10.15由勒贝格积分定义的函数的连续性10.16积分号下的微分法10.17交换积分次序10.18实线上的可测集10.19在R的任意子集上的勒贝格积分10.20复值函数的勒贝格积分10.21内积与范数10.22平方可积函数集合L2(I)10.23集合L2(I)作为一个半度量空间10.24关于L2(I)内的函数级数的一个收敛定理10.25里斯费希尔定理练习进一步参考文献第11章傅里叶级数与傅里叶积分11.1引言11.2正交函数系11.3最佳逼近定理11.4函数相对于一个规范正交系的傅里叶级数11.5傅里叶系数的性质11.6里斯费希尔定理11.7三角级数的收敛性与表示问题11.8黎曼勒贝格引理11.9狄利克雷积分11.10傅里叶级数部分和的积分表示11.11黎曼局部化定理11.12傅里叶级数在一个特定的点上收敛的充分条件11.13傅里叶级数的切萨罗可求和性11.14费耶定理的推论11.15魏尔斯特拉斯逼近定理11.16其他形式的傅里叶级数11.17傅里叶积分定理11.18指数形式的傅里叶积分定理11.19积分变换11.20卷积11.21对于傅里叶变换的卷积定理11.22泊松求和公式练习进一步参考文献第12章多元微分学12.1引言12.2方向导数12.3方向导数与连续性12.4全导数12.5全导数通过偏导数来表示12.6对复值函数的一个应用12.7线性函数的矩阵12.8雅可比矩阵12.9链式法则12.10链式法则的矩阵形式12.11用于可微函数的中值定理12.12可微的一个充分条件12.13混合偏导数相等的一个充分条件…12.14用于从Rn到R1的函数的泰勒公式练习进一步参考文献第13章隐函数与极值问题13.1引言13.2雅可比行列式不取零值的函数13.3反函数定理13.4隐函数定理13.5一元实值函数的极值13.6多元实值函数的极值13.7带边条件的极值问题练习进一步参考文献第14章多重黎曼积分14.1引言14.2Rn内有界区间的测度14.3在Rn内的紧区间上定义的有界函数的黎曼积分14.4零测度集与多重黎曼积分存在性的勒贝格准则14.5多重积分通过累次积分求值14.6Rn内的若尔当可测集14.7若尔当可测集上的多重积分14.8若尔当容度表示为黎曼积分14.9黎曼积分的可加性14.10多重积分的中值定理练习进一步参考文献第15章多重勒贝格积分15.1引言15.2阶梯函数及其积分15.3上函数与勒贝格可积函数15.4Rn内的可测函数与可测集15.5关于阶梯函数的二重积分的富比尼归约定理15.6零测度集的某些性质15.7对于二重积分的富比尼归约定理15.8可积性的托内利霍布森检验法15.9坐标变换15.10多重积分的变换公式15.11对于线性坐标变换的变换公式的证明15.12对于紧立方体特征函数的变换公式的证明15.13变换公式证明的完成练习进一步参考文献第16章柯西定理与留数计算16.1解析函数16.2复平面内的路与曲线16.3围道积分16.4沿圆形路的积分作为半径的函数16.5对于圆的柯西积分定理16.6同伦曲线16.7围道积分在同伦下的不变性16.8柯西积分定理的一般形式16.9柯西积分公式16.10回路关于一点的卷绕数16.11卷绕数为零的点集的无界性16.12用围道积分定义的解析函数16.13解析函数的幂级数展开16.14柯西不等式与刘维尔定理16.15解析函数零点的孤立性16.16解析函数的恒等定理16.17解析函数的最大模和最小模16.18开映射定理16.19圆环内解析函数的洛朗展开16.20孤立奇点16.21函数在孤立奇点处的留数16.22柯西留数定理16.23区域内零点与极点的个数16.24用留数的方法求实值积分的值16.25用留数计算的方法求高斯和的值16.26留数定理对于拉普拉斯变换反演公式的应用16.27共形映射练习进一步参考文献特殊符号索引索引
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开播时间:09月02日 10:30