【普林斯顿数学三剑客】普林斯顿微积分读本+概率论读+数学分析读本 全套3册

本书讲解概率论的基础内容, 包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、 连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等, 内容丰富, 通俗易懂, 并配有丰富的例子和大量习题, 涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。

史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller） 美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erdos研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。

第 一部分 一般性理论

第 1章 引言　　2

1.1 生日问题　　3

1.1.1 陈述问题　　3

1.1.2 解决问题　　6

1.1.3 对问题和答案的推广：效率　　11

1.1.4 数值检验　　14

1.2 从投篮到几何级数　　16

1.2.1 问题和解答　　16

1.2.2 相关问题　　22

1.2.3 一般问题的解决技巧　　25

1.3 赌博　　28

1.3.1 2008年超级碗赌注　　29

1.3.2 预期收益　　29

1.3.3 对冲的价值　　31

1.3.4 结论　　32

1.4 总结　　33

1.5 习题　　35

第 2章 基本概率定律　　41

2.1 悖论　　42

2.2 集合论综述　　44

2.2.1 编程漫谈　　48

2.2.2 无穷大的大小和概率　　50

2.2.3 开集和闭集　　52

2.3 结果空间、事件和概率公理　　54

2.4 概率公理　　59

2.5 基本概率规则　　61

2.5.1 全概率公式　　62

2.5.2 并的概率　　63

2.5.3 包含的概率　　66

2.6 概率空间和σ代数　　67

2.7 附录：实验性地找出规律　　72

2.7.1 乘积求导法则　　73

2.7.2 并的概率　　74

2.8 总结　　75

2.9 习题　　75

第3章 计数I：纸牌　　80

3.1 阶乘和二项式系数　　81

3.1.1 阶乘函数　　81

3.1.2 二项式系数　　85

3.1.3 总结　　90

3.2 扑克牌　　90

3.2.1 规则　　91

3.2.2 最小牌型　　93

3.2.3 对子　　95

3.2.4 两对　　98

3.2.5 三条　　99

3.2.6 顺子、同花和同花顺　　99

3.2.7 葫芦和铁支　　100

3.2.8 扑克牌型练习：I　　102

3.2.9 扑克牌型练习：II　　103

3.3 单人纸牌　　105

3.3.1 克朗代克纸牌　　105

3.3.2 Aces Up纸牌　　108

3.3.3 《空当接龙》　　110

3.4 桥牌　　112

3.4.1 井字游戏　　113

3.4.2 桥牌牌局的个数　　115

3.4.3 将牌的分配　　121

3.5 附录：计算概率的代码　　125

3.5.1 将牌的分配和代码　　125

3.5.2 扑克牌型的代码　　127

3.6 总结　　130

3.7 习题　　130

第4章 条件概率、独立性和贝叶斯定理　　134

4.1 条件概率　　135

4.1.1 猜测条件概率公式　　137

4.1.2 期望计数法　　138

4.1.3 文氏图法　　140

4.1.4 蒙提霍尔问题　　141

4.2 一般乘法法则　　142

4.2.1 陈述. 　　142

4.2.2 扑克牌的例子　　143

4.2.3 帽子问题和纠错码　　144

4.2.4 高等注解：条件概率的定义　　145

4.3 独立性　　146

4.4 贝叶斯定理　　148

4.5 划分和全概率法则　　154

4.6 回顾贝叶斯定理　　157

4.7 总结　　158

4.8 习题　　158

第5章 计数II：容斥原理　　162

5.1 阶乘和二项式问题　　163

5.1.1 “有多少个”与“概率是什么”　　163

5.1.2 选组　　165

5.1.3 循环次序　　166

5.1.4 选择套装　　168

5.2 容斥方法　　170

5.2.1 容斥原理的特例　　170

5.2.2 容斥原理的陈述　　173

5.2.3 容斥公式的证明　　175

5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型　　177

5.2.5 从“至少”到“恰好”的方法　　180

5.3 错排　　182

5.3.1 错排的个数　　183

5.3.2 错排数的概率　　184

5.3.3 错排试验的代码　　185

5.3.4 错排的应用　　187

5.4 总结　　188

5.5 习题　　190

第6章 计数III：高等组合学　　193

6.1 基本计数　　194

6.1.1 枚举法I　　194

6.1.2 枚举法II　　195

6.1.3 有放回抽样和无放回抽样　　199

6.2 单词排序　　207

6.2.1 排序方法数　　208

6.2.2 多项式系数　　210

6.3 划分　　213

6.3.1 饼干问题　　213

6.3.2 彩票　　216

6.3.3 其他划分　　220

6.4 总结　　223

6.5 习题　　223

第二部分 介绍随机变量

第7章 离散型随机变量　　228

7.1 离散型随机变量：定义　　228

7.2 离散型随机变量：概率密度函数　　230

7.3 离散型随机变量：累积分布函数　　233

7.4 总结　　241

7.5 习题　　243

第8章 连续型随机变量　　246

8.1 微积分基本定理　　247

8.2 概率密度函数和累积分布函数：定义　　259

8.3 概率密度函数和累积分布函数：例子　　251

8.4 单元素事件的概率　　256

8.5 总结　　258

8.6 习题　　259

第9章 工具：期望　　262

9.1 微积分预备知识　　263

9.2 期望值和矩　　265

9.3 均值和方差　　268

9.4 联合分布　　273

9.5 期望的线性性质　　277

9.6 均值和方差的性质　　282

9.7 偏斜度与峰度　　287

9.8 协方差　　287

9.9 总结　　288

9.10 习题. 　　289

第 10章 工具：卷积和变量替换　　292

10.1 卷积：定义和性质　　293

10.2 卷积：掷骰子的例子　　296

10.2.1 理论计算　　296

10.2.2 卷积码　　297

10.3 多变量的卷积　　298

10.4 变量替换公式：叙述　　301

10.5 变量替换公式：证明　　305

10.6 附录：随机变量的乘积与商　　309

10.6.1 乘积的概率密度函数　　310

10.6.2 商的概率密度函数　　311

10.6.3 例子：指数分布的商　　311

10.7 总结　　313

10.8 习题　　313

第 11章 工具：微分恒等式　　317

11.1 几何级数的例子　　318

11.2 微分恒等式法　　321

11.3 在二项分布随机变量上的应用　　322

11.4 在正态分布随机变量上的应用　　326

11.5 在指数分布随机变量上的应用　　328

11.6 总结　　330

11.7 习题　　331

第三部分 特殊分布

第 12章 离散分布　　334

12.1 伯努利分布　　334

12.2 二项分布　　335

12.3 多项分布　　339

12.4 几何分布　　341

12.5 负二项分布　　343

12.6 泊松分布　　347

12.7 离散均匀分布　　350

12.8 习题　　353

第 13章 连续型随机变量：均匀分布与指数分布　　357

13.1 均匀分布　　357

13.1.1 均值和方差　　358

13.1.2 服从均匀分布的随机变量之和　　359

13.1.3 例子　　362

13.1.4 均匀地生成随机数　　364

13.2 指数分布　　365

13.2.1 均值和方差　　366

13.2.2 服从指数分布的随机变量之和　　369

13.2.3 服从指数分布的随机变量的例子与应用　　372

13.2.4 从指数分布中生成随机数　　373

13.3 习题　　376

第 14章 连续型随机变量：正态分布　　379

14.1 确定标准化常数　　380

14.2 均值和方差　　383

14.3 服从正态分布的随机变量之和　　386

14.3.1 情形1：μX = μY = 0且σX^2 = σY^ 2 = 1　　388

14.3.2 情形2：一般化的μX、μY 和σX^2、σY^2 　　390

14.3.3 两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算　　393

14.4 从正态分布中生成随机数　　394

14.5 例子与中心极限定理　　400

14.6 习题　　401

第 15章 伽马函数与相关分布　　405

15.1 Γ(s) 的存在性　　405

15.2 Γ(s) 的函数方程　　407

15.3 阶乘函数与Γ(s) 　　411

15.4 Γ(s) 的特殊值　　412

15.5 贝塔函数与伽马函数　　414

15.5.1 基本关系式的证明　　415

15.5.2 基本关系式和Γ(1=2) 　　417

15.6 正态分布与伽马函数　　418

15.7 随机变量族　　419

15.8 附录：余割等式的证明　　421

15.8.1 余割等式：第 一种证明　　421

15.8.2 余割等式：第二种证明　　425

15.8.3 余割等式：s = 1=2的特殊情形　　427

15.9 柯西分布　　429

15.10 习题　　431

第 16章 卡方分布　　433

16.1 卡方分布的起源　　434

16.2 X ~x^2(1) 的均值与方差　　436

16.3 卡方分布与服从正态分布的随机变量之和　　437

16.3.1 直接积分求平方和　　439

16.3.2 利用变量替换定理求平方和　　440

16.3.3 卷积法求平方和　　444

16.3.4 服从卡方分布的随机变量之和　　446

16.4 总结　　447

16.5 习题　　449

第四部分 极限定理

第 17章 不等式和大数定律　　452

17.1 不等式　　452

17.2 马尔可夫不等式　　454

17.3 切比雪夫不等式　　456

17.3.1 陈述　　456

17.3.2 证明　　458

17.3.3 正态分布与均匀分布的例子　　460

17.3.4 指数分布的例子　　462

17.4 布尔不等式与邦弗伦尼不等式　　462

17.5 收敛类型　　464

17.5.1 依分布收敛　　464

17.5.2 依概率收敛　　466

17.5.3 几乎必然收敛与必然收敛　　467

17.6 弱大数定律与强大数定律　　467

17.7 习题　　469

第 18章 斯特林公式　　472

18.1 斯特林公式与概率　　474

18.2 斯特林公式与级数的收敛性　　476

18.3 从斯特林公式到中心极限定理　　477

18.4 积分判别法与较弱的斯特林公式　　481

18.5 得到斯特林公式的基本方法　　484

18.5.1 二进分解　　484

18.5.2 斯特林公式的下界：I　　486

18.5.3 斯特林公式的下界：II　　488

18.5.4 斯特林公式的下界：III　　490

18.6 静态相位与斯特林公式　　491

18.7 中心极限定理与斯特林公式　　492

18.8 习题　　494

第 19章 生成函数与卷积　　496

19.1 动机　　496

19.2 定义　　498

19.3 生成函数的唯一性和收敛性　　503

19.4 卷积I：离散型随机变量　　504

19.5 卷积II：连续型随机变量　　508

19.6 矩母函数的定义与性质　　514

19.7 矩母函数的应用　　521

19.8 习题　　525

第 20章 中心极限定理的证明　　527

20.1 证明的关键思路　　537

20.2 中心极限定理的陈述　　529

20.3 均值、方差与标准差　　531

20.4 标准化　　532

20.5 矩母函数的相关结果　　536

20.6 特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和　　538

20.7 利用MGF证明一般的CLT　　541

20.8 使用中心极限定理　　543

20.9 中心极限定理与蒙特卡罗积分　　544

20.10 总结　　546

20.11 习题　　547

第 21章 傅里叶分析与中心极限定理　　552

21.1 积分变换　　553

21.2 卷积与概率论　　557

21.3 中心极限定理的证明　　560

21.4 总结　　563

21.5 习题　　564

第五部分 其他主题

第 22章 假设检验　　568

22.1 Z检验　　569

22.1.1 原假设与备择假设　　569

22.1.2 显著性水平　　570

22.1.3 检验统计量　　572

22.1.4 单侧检验与双侧检验　　575

22.2 p值　　578

22.2.1 非凡的主张与p值　　578

22.2.2 大的p值　　579

22.2.3 关于p值的误解　　579

22.3 t检验　　581

22.3.1 估算样本方差　　581

22.3.2 从z检验到t检验　　582

22.4 假设检验的问题　　585

22.4.1 I型错误　　585

22.4.2 II型错误　　585

22.4.3 错误率与司法系统　　586

22.4.4 功效　　587

22.4.5 效应量　　588

22.5 卡方分布、拟合优度　　588

22.5.1 卡方分布与方差检验　　589

22.5.2 卡方分布与t分布　　592

22.5.3 列表数据的拟合优度　　593

22.6 双样本检验　　595

22.6.1 双样本z检验：方差已知　　595

22.6.2 双样本t检验：方差未知但相等　　598

22.6.3 方差未知且不相等　　599

22.7 总结　　601

22.8 习题　　 602

第 23章 差分方程、马尔可夫过程和概率论　　 604

23.1 从斐波那契数到轮盘赌　　604

23.1.1 翻倍加一策略　　604

23.1.2 对斐波那契数的快速回顾　　606

23.1.3 递推关系与概率　　608

23.1.4 讨论与推广　　609

23.1.5 轮盘赌问题的代码　　610

23.2 递推关系的一般理论　　612

23.2.1 表示法　　612

23.2.2 特征方程　　612

23.2.3 初始条件　　614

23.2.4 关于不同根意味着可逆性的证明　　616

23.3 马尔可夫过程　　617

23.3.1 递推关系与种群动力学　　617

23.3.2 一般的马尔可夫过程　　619

23.4 总结　　620

23.5 习题　　620

第 24章 最小二乘法　　622

24.1 问题的描述　　622

24.2 概率论与统计学回顾　　623

24.3 最小二乘法　　625

24.4 习题　　629

第 25章 两个著名问题与一些代码　　632

25.1 婚姻/秘书问题　　632

25.1.1 假设与策略　　632

25.1.2 成功的概率　　633

25.1.3 秘书问题的代码　　637

25.2 蒙提霍尔问题　　639

25.2.1 一个简单的解决方案　　639

25.2.2 一种极端情形　　640

25.2.3 蒙提霍尔问题的代码　　641

25.3 两个随机程序　　642

25.3.1 有放回取样与无放回取样　　642

25.3.2 期望　　643

25.4 习题　　644

附录A 证明技巧（图灵社区下载）

附录B 分析学结果（图灵社区下载）

附录C 可数集与不可数集（图灵社区下载）

附录D 复分析与中心极限定理（图灵社区下载）