2021考研数学 2021李永乐·王式安考研数学复习全书（数学三）可搭肖秀荣张剑徐涛徐之明 金榜图书

★本书从基本理论、基础知识、基本方法出发，全面、深入、细致地讲解考研数学大纲要求的所有考点，它不要花拳绣腿的不实用技巧，也不提倡误人子弟的费时背书法，而是扎扎实实地带你深入每一个考点背后，找到它们之间的关联、逻辑，让你从大学知识点零碎、概念不清楚、期末考试过后即忘的“低级”水平，提升到考研必需的高度。 ★利用《数学复习全书·基础篇》把基本知识“捡”起来之后，再使用本书。本书有知识点的详细讲解和相应练习题，有利于考生建立考研知识体系和框架，打好基础。此前《数学基础过关660题》中若遇到不会做的题，可以放到这里来做。以章或节为单位，学习新内容前要复习前面的内容，按照一定的规律来复习。基础薄弱或中等偏下的考生，务必要利用考研当年上半年的时间，整体地吃透书中的理论知识，摸清例题设置的原理和必要性，特别是对大纲中要求的基本概念、理论、方法要系统理解和掌握。

高数王者·武忠祥 【超专业】 原西安交通大学（985、211、双一流高校）数学系教授 美国爱荷华大学（2019美国综合性大学TOP100）访问学者 百万畅销书《高等数学辅导讲义》《考研数学复习全书》主编 高教社《工科数学分析基础》《高等数学基础》等教材主编   【超会讲课】 高校执教30余年，曾获国家教学成果二等奖和陕西省教学成果特等奖等32项教学奖励 20余年考研数学辅导经验，熟知考生复习的难点、易错点   【超懂考研】 国家高等数学试题库骨干专家，多次参加考研数学大纲修订及全国性数学考试命题工作 思维升级教学法创始人，教你掌握考研数学底层逻辑，复习效率提升10倍   线代王·李永乐 原清华大学应用数学系教授 广受学生信赖的“线代王” 北京高教学会数学研究会副理事长 全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长 百万畅销书《线性代数辅导讲义》《考研数学复习全书》主编   前命题组组长·王式安 原北京理工大学研究生院院长、应用数学系主任、教授 享受国务院特殊津贴的数学专家 美国哥伦比亚、南佛罗里达、纽约等大学的客座教授 1987-2001年间担任全国硕士研究生入学考试数学命题组组长 百万畅销书《概率论与数理统计辅导讲义》《考研数学复习全书》主编   前命题组组长·季文铎 原北京交通大学教授，享受国家津贴，国家教学成果奖获得者 1989年参加研究生入学考试数学科目的命题工作，后期一直担任该命题组组长 长期承担大学生数学竞赛、数学建模竞赛及大学基础数学的教学和理论研究工作

第一篇  微积分

第一章函数、极限、连续(3)

考点与要求(3)

1函数(3)

内容精讲(3)

一、函数的概念及表示方法(3)

二、函数的性态(3)

三、几个与函数相关的概念(4)

四、重要公式与结论(5)

例题分析(6)

一、求函数的定义域及表达式(6)

二、函数的特性(8)

2极限(11)

内容精讲(11)

一、极限的定义(11)

二、数列极限的基本性质(11)

三、函数极限的基本性质(11)

四、无穷小量与无穷大量(12)

五、极限的四则运算法则(13)

六、两个重要极限(13)

七、极限存在的两个准则(13)

八、洛必达(L＇Hospital)法则(14)

九、重要公式与结论(14)

例题分析(15)

一、极限的概念与性质(15)

二、求函数的极限(16)

三、求数列的极限(23)

四、求含参变量的极限(25)

五、无穷小量阶的比较(25)

六、函数极限的反问题(27)

3函数的连续与间断(28)

内容精讲(28)

一、连续的定义(28)

二、函数的间断点及其分类(29)

三、连续函数性质(29)

四、重要定理与结论(29)

例题分析(30)

一、函数的连续性及间断点的分类(30)

二、连续函数性质的应用(32)

练 习(33)

第二章一元函数微分学(34)

考点与要求(34)

1导数与微分(34)

内容精讲(34)

一、导数的概念(34)

二、导数的计算(35)

三、微分(37)

四、重要公式与结论(37)

例题分析(38)

一、有关导数的定义及性质(38)

二、含有绝对值函数的导数(42)

三、导数的几何意义(42)

四、变限积分的导数(44)

五、利用导数公式及法则求导(45)

六、可导条件下求待定的参数(47)

七、求函数的高阶导数(48)

2导数的应用(49)

内容精讲(49)

一、函数的单调性与极值(49)

二、曲线的凹凸性与拐点(50)

三、曲线的渐近线(50)

四、函数图形的描绘(51)

五、重要公式与结论(51)

例题分析(51)

一、求函数的单调区间与极值(51)

二、判断曲线的凹凸性与拐点(53)

三、求曲线的渐近线(54)

四、导数的经济应用(56)

3中值定理及不等式的证明(57)

内容精讲(57)

一、微分中值定理(57)

二、补充公式与结论(59)

三、与本章例题有关的其他内容(59)

例题分析(59)

一、证明存在钍筬(?)=0(59)

二、讨论方程根的个数及范围(60)

三、证明存在?, 使f(n)(?)=0(n=1,2,…)

(62)

四、证明存在?, 使G(?,f(?),f′(?))=0

(63)

五、含有f″(?)(或更高阶导数)的介值问题

(65)

六、双介值问题F(?,?,…)=0(66)

七、不等式的证明(67)

练 习(72)

第三章一元函数积分学(74)

考点与要求(74)

1不定积分(74)

内容精讲(74)

一、不定积分的概念与性质(74)

二、基本积分公式(75)

三、三个积分方法(75)

四、重要公式与结论(76)

例题分析(78)

一、不定积分的概念和性质(78)

二、不定积分的计算(79)

2定积分(88)

内容精讲(88)

一、定积分的概念与性质(88)

二、定积分的几个定理(89)

三、定积分的计算方法(90)

四、重要公式与结论(90)

例题分析(91)

一、定积分的概念及性质(91)

二、定积分的计算(94)

三、有关变限积分的问题(99)

四、定积分的证明题(100)

3反常积分(102)

内容精讲(102)

一、无穷区间的反常积分(102)

二、无界函数的反常积分(103)

三、几个重要的反常积分(104)

例题分析(105)

4定积分的应用(107)

内容精讲(107)

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法）(107)

二、定积分的几何应用(107)

三、定积分的经济应用(108)

例题分析(108)

一、定积分的几何应用(108)

二、定积分的经济应用(110)

练 习(111)

第四章多元函数微积分学(113)

考点与要求(113)

1多元函数微分学(113)

内容精讲(113)

一、多元函数的极限与连续(113)

二、偏导数与全微分(114)

三、复合函数求导法则(115)

四、隐函数的求导公式(116)

五、多元函数的极值(116)

六、重要公式与结论(117)

例题分析(117)

一、二元函数的极限与连续(117)

二、偏导数与全微分的概念(119)

三、求复合函数的偏导数与全微分(122)

四、求隐函数的偏导数与全微分(127)

五、变量代换下表达式的变形(129)

六、多元函数微分学的反问题(132)

七、多元函数的极值与最值(133)

2二重积分(140)

内容精讲(140)

一、二重积分的概念与性质(140)

二、二重积分的计算(141)

三、重要公式与结论(141)

例题分析(142)

一、二重积分的概念及性质(142)

二、二重积分的基本计算(143)

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分(146)

四、分块函数的二重积分(149)

五、交换积分次序及坐标系(150)

六、反常二重积分的计算(153)

七、与二重积分相关的证明(154)

练 习(155)

第五章无穷级数(157)

考点与要求(157)

1常数项级数(157)

内容精讲(157)

一、基本概念和基本性质(157)

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法(158)

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法(158)

四、重要公式与结论(159)

例题分析(160)

一、正项级数敛散性的判定(160)

二、交错级数的敛散性的判定(163)

三、任意项级数敛散性的判定(165)

四、数项级数敛散性的证明(168)

五、利用收敛级数求极限(170)

2幂级数(171)

内容精讲(171)

例题分析(172)

一、求幂级数的收敛半径及收敛域(172)

二、求幂级数的和函数(176)

三、求数项级数的和(179)

四、函数展开为幂级数(180)

五、经济中的应用(182)

练 习(183)

第六章常微分方程与差分方程(185)

考点与要求(185)

1常微分方程(185)

内容精讲(185)

一、几个基本概念(185)

二、常见的一阶微分方程及其解法(186)

三、二阶线性微分方程(186)

例题分析(187)

一、一阶微分方程的求解(187)

二、二阶线性微分方程(191)

三、可化为微分方程求解的问题(194)

四、微分方程的应用(196)

2差分方程(198)

内容精讲(198)

一、差分的概念(198)

二、一阶常系数线性差分方程(199)

例题分析(199)

练 习(200)

 

第二篇  线性代数

第一章行列式(203)

考点与要求(203)

内容精讲(203)

例题分析(206)

一、数字型行列式的计算(206)

二、抽象型行列式的计算(213)

三、行列式|A|是否为零的判定(214)

四、关于代数余子式求和(215)

练 习(217)

第二章矩阵(218)

考点与要求(218)

内容精讲(218)

1矩阵的概念及运算(218)

一、矩阵的概念(218)

二、矩阵的运算(219)

三、矩阵的运算规则(219)

四、特殊矩阵(220)

2伴随矩阵、可逆矩阵(220)

一、伴随矩阵、可逆矩阵的概念(220)

二、伴随矩阵重要公式(221)

三、n阶矩阵A可逆的充分必要条件(221)

四、逆矩阵的运算性质(221)

五、求逆矩阵的方法(221)

3初等变换、初等矩阵(222)

一、定义(222)

二、初等矩阵与初等变换的性质(222)

4矩阵的秩(223)

一、矩阵秩的概念(223)

二、矩阵秩的公式(223)

5分块矩阵(224)

一、分块矩阵的概念(224)

二、分块矩阵的运算(224)

例题分析(225)

一、矩阵的概念及运算(225)

二、特殊方阵的幂(227)

三、伴随矩阵的相关问题(230)

四、可逆矩阵的相关问题(232)

五、初等变换、初等矩阵(235)

六、如何求矩阵(238)

七、矩阵秩的计算(240)

练 习(242)

第三章向量(244)

考点与要求(244)

内容精讲(244)

1n维向量的概念与运算(244)

2线性表出、线性相关(244)

一、线性表出的概念(245)

二、线性相关、线性无关的概念(245)

三、线性表出、线性相关的重要定理(245)

3极大线性无关组、秩(246)

一、极大线性无关组、向量组秩的概念(246)

二、有关秩的定理(246)

4Schmidt正交化、正交矩阵(246)

一、Schmidt正交化（正交规范化方法）(246)

二、正交矩阵(247)

例题分析(247)

一、线性相关的判别(247)

二、向量的线性表示(248)

三、线性相关与线性无关的证明(251)

四、秩与极大线性无关组(255)

五、正交化、正交矩阵(258)

练 习(259)

第四章线性方程组(261)

考点与要求(261)

内容精讲(261)

1克拉默法则(261)

2齐次线性方程组(261)

3非齐次线性方程组(263)

例题分析(264)

一、线性方程组的基本概念题(264)

二、线性方程组的求解(268)

三、基础解系(274)

四、Ax=0的系数矩阵的行向量和解向量的关系，由Ax=0的基础解系反求A(275)

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系(277)

六、两个方程组的公共解(279)

七、同解方程组(280)

练 习(283)

第五章特征值、特征向量、相似矩阵(285)

考点与要求(285)

内容精讲(285)

1特征值、特征向量(285)

一、定义(285)

二、特征值的性质(285)

三、求特征值、特征向量的方法(285)

2相似矩阵、矩阵的相似对角化(286)

一、定义(286)

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件(286)

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件(286)

3实对称矩阵的相似对角化(287)

一、定义(287)

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化(287)

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤(287)

例题分析(288)

一、特征值，特征向量的求法(288)

二、两个矩阵有相同的特征值的证明(292)

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法(293)

四、矩阵是否相似于对角阵(294)

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数(297)

六、由特征值、特征向量反求A(297)

七、矩阵相似及相似标准形(298)

八、相似对角阵的应用(303)

练 习(307)

第六章二次型(308)

考点与要求(308)

内容精讲(308)

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵(308)

一、二次型概念(308)

二、二次型的矩阵表示(308)

2化二次型为标准形、规范形合同二次型(309)

一、定义(309)

3正定二次型、正定矩阵(311)

一、定义(311)

例题分析(311)

一、二次型的矩阵表示(311)

二、化二次型为标准形、规范形(312)

三、合同矩阵、合同二次型(318)

四、正定性的判别与证明(320)

五、二次型的应用(325)

练 习(327)

 

第三篇  概率论与数理统计

第一章随机事件与概率(331)

考点与要求(331)

1事件、样本空间、事件间的关系与运算(331)

内容精讲(331)

例题分析(333)

2概率、条件概率、独立性和五大公式(335)

内容精讲(335)

例题分析(336)

3古典概型与伯努利概型(341)

内容精讲(341)

例题分析(342)

练 习(344)

第二章随机变量及其概率分布(345)

考点与要求(345)

1随机变量及其分布函数(345)

内容精讲(345)

例题分析(346)

2离散型随机变量和连续型随机变量(347)

内容精讲(347)

例题分析(348)

3常用分布(349)

内容精讲(349)

例题分析(352)

4随机变量函数的分布(355)

内容精讲(355)

例题分析(356)

练 习(357)

第三章多维随机变量及其分布(359)

考点与要求(359)

1二维随机变量及其分布(359)

内容精讲(359)

例题分析(361)

2随机变量的独立性(366)

内容精讲(366)

例题分析(367)

3二维均匀分布和二维正态分布(375)

内容精讲(375)

例题分析(376)

4两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布(378)

内容精讲(378)

例题分析(379)

练 习(385)

第四章随机变量的数字特征(387)

考点与要求(387)

1随机变量的数学期望和方差(387)

内容精讲(387)

例题分析(389)

2矩、协方差和相关系数(396)

内容精讲(396)

例题分析(397)

3切比雪夫不等式(405)

内容精讲(405)

例题分析(405)

练 习(405)

第五章大数定律和中心极限定理(407)

考点与要求(407)

内容精讲(407)

例题分析(408)

练 习(410)

第六章数理统计的基本概念(411)

考点与要求(411)

1总体、样本、统计量和样本数字特征(411)

内容精讲(411)

例题分析(412)

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布(414)

内容精讲(414)

例题分析(416)

练 习(419)

第七章参数估计(421)

考点与要求(421)

1点估计(421)

内容精讲(421)

例题分析(421)

2估计量求法(426)

内容精讲(426)

例题分析(427)

练 习(432)

练习参考答案(434)