译者的话
前言
引言
第1 章 复分析预备知识 1
1 复数和复平面 1
1. 1 基本性质 1
1. 2 收敛性 3
1. 3 复平面中的集合 4
2 定义在复平面上的函数 5
2. 1 连续函数 5
2. 2 全纯函数 6
2. 3 幂级数 10
3 沿曲线的积分 13
4 练习 17
第2 章 柯西定理及其应用 23
1 Goursat 定理 24
2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理 26
3 一些积分估值 29
4 柯西积分公式 32
5 应用 37
5. 1 Morera 定理 37
5. 2 全纯函数列 37
5. 3 按照积分定义全纯函数 39
5. 4 Schwarz 反射原理 40
5. 5 Runge 近似定理 42
6 练习 44
7 问题 47
第3 章 亚纯函数和对数 50
1 零点和极点 51
2 留数公式 54
2. 1 例子 55
3 奇异性与亚纯函数 58
4 辐角原理与应用 62
5 同伦和单连通区域 65
6 复对数 68
7 傅里叶级数和调和函数 70
8 练习 72
9 问题 75
第4 章 傅里叶变换 78
1 F 类 79
2 作用在 F 类上的傅里叶变换 80
3 Paley.Wiener 定理 85
4 练习 90
5 问题 94
第5 章 整函数 96
1 Jensen 公式 97
2 有限阶函数 99
3 无穷乘积 101
3. 1 一般性 101
3. 2 例子 正弦函数的乘积公式 102
4 Weierstrass 无穷乘积 104
5 Hadamard 因子分解定理 106
6 练习 110
7 问题 113
第6 章 Gamma 函数和 Zeta 函数 115
1 Gamma 函数 115
1. 1 解析延拓 116
1. 2 Γ 函数的性质 118
2 Zeta 函数 122
2. 1 泛函方程和解析延拓 122
3 练习 127
4 问题 131
第7 章 Zeta 函数和素数定理 133
1 Zeta 函数的零点 134
1. 1 1／ ζ（s）的估计 137
2 函数 ψ 和 ψ1 的简化 138
2. 1 ψ1 的渐近证明 142
3 练习 146
4 问题 149
第8 章 共形映射 151
1 共形等价和举例 152
1. 1 圆盘和上半平面 153
1. 2 进一步举例 154
1. 3 带形区域中的 Dirichlet 问题 156
2 Schwarz 引理 圆盘和上半平面的自同构 160
2. 1 圆盘内的自同构 161
2. 2 上半平面的自同构 163
3 黎曼映射定理 164
3. 1 必要条件和定理的陈述 164
3. 2 Montel 定理 165
3. 3 黎曼映射定理的证明 167
4 共形映射到多边形上 169
4. 1 一些例子 169
4. 2 Schwarz.Christoffel 积分 172
4. 3 边界表现 174
4. 4 映射公式 177
4. 5 返回椭圆积分 180
5 练习 181
6 问题 187
第9 章 椭圆函数介绍 192
1 椭圆函数 193
1. 1 Liouville 定理 194
1. 2 Weierstrass 函数 196
2 椭圆函数的模特征和 Eisenstein 级数 200
2. 1 Eisenstein 级数 201
2. 2 Eisenstein 级数和除数函数 203
3 练习 205
4 问题 207
第10 章 Theta 函数的应用 209
1 Jacobi Theta 函数的乘积公式 209
1. 1 进一步的变换法则 214
2 母函数 216
3 平方和定理 218
3. 1 二平方定理 219
3. 2 四平方定理 224
4 练习 228
5 问题 232
附录 A 渐近 236
1 Bessel 函数 237
2 Laplace 方法 Stirling 公式 239
3 Airy 函数 243
4 分割函数 247
5 问题 253
附录 B 单连通和 Jordan 曲线定理 256
1 单连通的等价公式 257
2 Jordan 曲线定理 261
2. 1 柯西定理的一般形式的证明 268
注释和参考书目 270
参考文献 273
占位居中
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