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沈一兵 著 / 高等教育出版社 / 2009-07 / 平装
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整体微分几何初步(第3版)
《整体微分几何初步(第3版)》是作者长期从事微分几何基础教学的产物,主要采用外微分形式和活动标架法,介绍欧氏空间曲线和曲面的某些整体性质。内容包括:E3中曲线和曲面的局部概论;活动标架法;曲线的整体微分几何;E3中曲面的整体微分几何;曲面的内蕴几何;高维欧氏空间的超曲面:Finsler几何中的某些变分计算。另有两个附录:欧氏空间点集拓扑概要;曲面的拓扑分类。书中介绍了整体微分几何的许多基本概念和方法技巧,既论述经典理论,也兼顾近代进展,并包含了丰富的微分几何参考文献,使读者在学完《整体微分几何初步(第3版)》后,能独立进行整体微分几何的某些研究。
《整体微分几何初步(第3版)》可作为高等院校数学系学生及研究生的教材,也可供数学和物理工作者参考。
第0章E3中曲线和曲面的局部概论§1E3中的曲线1.1曲线的表示1.2曲线的Frenet标架曲率和挠率1.3曲线论的基本公式和基本定理§2E3中的曲面2.1曲面的表示2.2曲面上的活动标架第一基本形式2.3长度、角度和面积元2.4常见曲面§3曲面上的曲率3.1曲面的第二基本形式3.2wreingarten变换主曲率3.3Gauss曲率平均曲率曲率线3.4Gauss映射第三基本形式§4曲面的局部理论4.1自然标架的基本公式4.2测地曲率测地线4.3法坐标与测地极坐标第一章活动标架法§1幺正标架1.1幺正标架1.2双参数下的外乘法与外微分1.3幺正标架的运动方程§2外微分形式2.1外代数2.2外微分形式2.3外微分2.4微分形式的积分§3可积系统3.1E3的结构方程3.2Frobenius定理§4曲线和曲面的基本定理4.1曲线论基本定理4.2用活动幺正标架研究曲面4.2.1联络与第二基本形式4.2.2测地曲率的Liouville公式4.2.3Gauss美妙定理4.3曲面论基本定理第二章曲线的整体微分几何§1平面曲线的某些整体性质1.1等周不等式1.2曲线的旋转指标1.2.1映射的度数1.2.2旋转指标定理1.3凸闭曲线§2空间曲线的某些整体性质2.1球面上的Crofton公式2.2空间曲线的全曲率2.3空间曲线的全挠率第三章E3中曲面的整体微分几何§1曲面的Gauss—Bonnet公式1.1曲面的整体描述1.2Gauss-Bonnet公式§2Liebmann定理2.1球面的刚性2.2两个引理2.3Liebmann定理的证明§3凸曲面和积分公式3.1凸曲面的Hadamard定理3.2Cohn-Vossen定理3.3Minkowski积分公式§4Mink:OWSki问题和Christoffel问题的唯一性4.1概述4.2基本公式4.3Minkowski问题的唯一性4.4Christoffel问题的唯一性§5全平均曲率与willmore猜想5.1全平均曲率5.2球面的一个特征5.3环面的全平均曲率5.4Fenchel定理§6常负曲率曲面和Backlund变换6.1常负曲率曲面和SG方程6.2伪球线汇和焦曲面6.3Backlund变换§7Hilbert定理7.1负曲率曲面上的渐近线网7.2常负曲率完备曲面上的整体渐近线网7.3定理的证明§8Hartman—Nirenberg定理8.1预备引理8.2定理的证明§9极小曲面的Bernstein定理9.1共变微分和Laplacian△9.2关于Gauss曲率的计算9.3极小图的Gauss曲率计算9.4Bernstein定理的证明§10常平均曲率曲面10.1面积的变分10.2保体积的变分10.3Hopf定理第四章曲面的内蕴几何学§1曲面上的向量场1.1曲面上的向量场1.2曲面上向量场的平行移动1.3向量场的奇点1.4抽象曲面上的向量场§2测地线与完备曲面2.1测地线2.2指数映射exp2.3测地线的最短性2.4完备性§3弧长的第一变分3.1曲线的变分3.2第一变分公式3.3第一变分公式的应用§4弧长的第二变分及Jacobi场4.1弧长的第二变分公式4.2Jacobi场4.3共轭点§5曲率与拓扑5.1曲率与Jacobi场5.2Gauss曲率非正的曲面§6闭测地线与基本群6.1闭测地线与基本群6.2覆盖空间与闭测地线6.3紧致闭曲面上的闭测地线第五章高维欧氏空间的超曲面§1基本公式1.1超曲面的结构方程和曲率张量1.2主曲率与平均曲率1.3空间形式§2积分公式2.1Minkowski积分公式2.2紧致凸超曲面§3球面的刚性定理3.1非负Ricci曲率的紧致超曲面3.2常数数量曲率的紧致超曲面§4极小超曲面的.Bernstein型定理4.1关于第二基本形式的一个估计4.2稳定性不等式4.3Bet-nstein定理的推广4.4定理4.4的另一证明§5常平均曲率的完备超曲面5.1常平均曲率图5.2常平均曲率超曲面的曲率估计5.3具有有限全曲率的常平均曲率超曲面§6平均曲率流6.1平均曲率流方程6.2解的短时间存在性6.3度量和曲率的发展6.4紧致凸超曲面的收缩§7平均曲率流的奇性和凸性7.1平均曲率流的奇性7.2平均曲率流的凸性7.3关于σ2的估计7.4关于初等对称函数7.5定理7.4的证明§8关于Lawson—simons猜想8.1Lawson—Simons猜想8.2作为欧氏超曲面的紧致流形8.3定理8.1的证明8.4一般的黎曼流形本章参考文献第六章Fiasler几何中的某些变分计算§1FiIlsler流形1.1Finsler流形1.2陈联络(Chernconnection)1.3黎曼曲率1.4体积元1.5畸变与S曲率1.6复Finsler流形§2某些几何变分计算2.1散度公式2.2Einsteil卜Hilbert泛函2.3调和映射2.3.1第一变分2.3.2第二变分与Liouville型定理2.4极小浸入2.5复Finsler流形间的调和映射2.5.1第一变分2.5.2存在性2.5.3同伦不变性本章参考文献附录A欧氏空间点集拓扑概要附录B曲面的拓扑分类本书参考文献索引
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开播时间:09月02日 10:30