第1 章函数、图像和直线… … … … … … … …1
1．1 函数… … … … … … … …1
1．1．1 区间表示法… … … … … … … …3
1．1．2 求定义域… … … … … … … …3
1．1．3 利用图像求值域… … … … … … … …4
1．1．4 垂线检验… … … … … … … …5
1．2 反函数… … … … … … … …6
1．2．1 水平线检验… … … … … … … …7
1．2．2 求反函数… … … … … … … …8
1．2．3 限制定义域… … … … … … … … 8
1．2．4 反函数的反函数… … … … … 9
1．3 函数的复合… … … … … … … … … … … … … 10
1．4 奇函数和偶函数… … … … … … … … … … 12
1．5 线性函数的图像… … … … … … … … … … 14
1．6 常见函数及其图像… … … … … … … … … 16
第2 章三角学回顾… … … … … … … … … … … … … 21
2．1 基本知识… … … … … … … … … … … … … … … 21
2．2 扩展三角函数定义域… … … … … … … 23
2．2．1 ASTC 方法… … … … … … … … 25
2．2．2 [0， 2π] 以外的三角函数… … … … … … … … … … … … … 27
2．3 三角函数的图像… … … … … … … … … … 29
2．4 三角恒等式… … … … … … … … … … … … … 32
第3 章极限导论… … … … … … … … … … … … … … … 34
3．1 极限：基本思想… … … … … … … … … … 34
3．2 左极限与右极限… … … … … … … … … … 36
3．3 何时不存在极限… … … … … … … … … … 37
3．4 在∞和-∞处的极限… … … … … 38
3．5 关于渐近线的两个常见误解… … … 41
3．6 三明治定理… … … … … … … … … … … … … 43
3．7 极限的基本类型小结… … … … … … … 45
第4 章求解多项式的极限问题… … … … … … 47
4．1 x → a 时的有理函数的极限… … … 47
4．2 x → a 时的平方根的极限… … … … 50
4．3 x → ∞时的有理函数的极限… … 51
4．4 x → ∞时的多项式型函数的极限… … 56
4．5 x → -∞ 时的有理函数的极限… … … … … 59
4．6 包含绝对值的函数的极限… … … … 61
第5 章连续性和可导性… … … … … … … … … … 63
5．1 连续性… … … … … … … … … … … … … … … … 63
5．1．1 在一点处连续… … … … … … … 63
5．1．2 在一个区间上连续… … … … 64
5．1．3 连续函数的一些例子… … 65
5．1．4 介值定理… … … … … … … … … … 67
5．1．5 一个更难的介值定理
例子… … … … … … … … … … … … … 69
5．1．6 连续函数的最大值和
最小值… … … … … … … … … … … 70
5．2 可导性… … … … … … … … … … … … … … … … 71
5．2．1 平均速率… … … … … … … … … … 72
5．2．2 位移和速度… … … … … … … … 72
5．2．3 瞬时速度… … … … … … … … … … 73
5．2．4 速度的图像阐释… … … … … 74
5．2．5 切线… … … … … … … … … … … … … 75
5．2．6 导函数… … … … … … … … … … … 77
5．2．7 作为极限比的导数… … … … 78
5．2．8 线性函数的导数… … … … … 80
5．2．9 二阶导数和更高阶导数… … … … … … … … … … … … … 80
5．2．10 何时导数不存在… … … … … 81
5．2．11 可导性和连续性… … … … … 82
第6 章求解微分问题… … … … … … … … … … … 84
6．1 使用定义求导… … … … … … … … … … … … 84
6．2 用更好的办法求导… … … … … … … … … 87
6．2．1 函数的常数倍… … … … … … … 88
6．2．2 函数和与函数差… … … … … 88
6．2．3 通过乘积法则求积函数的导数… … … … … … … … … … 88
6．2．4 通过商法则求商函数的导数… … … … … … … … … … 90
6．2．5 通过链式求导法则求复合函数的导数… … … … 91
6．2．6 那个难以处理的例子… … 94
6．2．7 乘积法则和链式求导法则的理由… … … … … … … 96
6．3 求切线方程… … … … … … … … … … … … … 98
6．4 速度和加速度… … … … … … … … … … … … 99
6．5 导数伪装的极限… … … … … … … … … … 101
6．6 分段函数的导数… … … … … … … … … … 103
6．7 直接画出导函数的图像… … … … … … 106
第7 章三角函数的极限和导数… … … … … … 111
7．1 三角函数的极限… … … … … … … … … … 111
7．1．1 小数的情况… … … … … … … … 111
7．1．2 问题的求解——小数的情况… … … … … … … … … … … 113
7．1．3 大数的情况… … … … … … … … 117
7．1．4 其他的" 情况… … … … … … 120
7．1．5 一个重要极限的证明… … 121
7．2 三角函数的导数… … … … … … … … … … 124
7．2．1 求三角函数导数的例子… … … … … … … … … … … … … 127
7．2．2 简谐运动… … … … … … … … … … 128
7．2．3 一个有趣的函数… … … … … 129
第8 章隐函数求导和相关变化率… … … … 132
8．1 隐函数求导… … … … … … … … … … … … … 132
8．1．1 技巧和例子… … … … … … … … 133
8．1．2 隐函数求二阶导… … … … … 137
8．2 相关变化率… … … … … … … … … … … … … 138
8．2．1 一个简单的例子… … … … … 139
8．2．2 一个稍难的例子… … … … … 141
8．2．3 一个更难的例子… … … … … 142
8．2．4 一个非常难的例子… … … … 144
第9 章指数函数和对数函数… … … … … … … 148
9．1 基础知识… … … … … … … … … … … … … … … 148
9．1．1 指数函数的回顾… … … … … 148
9．1．2 对数函数的回顾… … … … … 149
9．1．3 对数函数、指数函数及反函数… … … … … … … … … … 150
9．1．4 对数法则… … … … … … … … … … 151
9．2 e 的定义… … … … … … … … … … … … … … … 153
9．2．1 一个有关复利的问题… … 153
9．2．2 问题的答案… … … … … … … … 154
9．2．3 更多关于e 和对数函数的内容… … … … … … … … 156
9．3 对数函数和指数函数求导… … … … 158
9．4 求解指数函数或对数函数的极限… … … … … … …… … … … 161
9．4．1 涉及e 的定义的极限… … 161
9．4．2 指数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 162
9．4．3 对数函数在1 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 164
9．4．4 指数函数在∞或-∞附近的行为… … … … … 164
9．4．5 对数函数在∞附近的行为… … … … … … … … … … … … … 167
9．4．6 对数函数在0 附近的行为… … … … … … … … … … … … … 168
9．5 取对数求导法… … … … … … … … … … … … 169
9．6 指数增长和指数衰变… … … … … … … 173
9．6．1 指数增长… … … … … … … … … … 174
9．6．2 指数衰变… … … … … … … … … … 176
9．7 双曲函数… … … … … … … … … … … … … … … 178
第10 章反函数和反三角函数… … … … … … 181
10．1 导数和反函数… … … … … … … … … … … 181
10．1．1 使用导数证明反函数存在… … … … … … … … … … … … 181
10．1．2 导数和反函数：可能出现的问题… … … … … … … … 182
10．1．3 求反函数的导数… … … … … 183
10．1．4 一个综合性例子… … … … … 185
10．2 反三角函数… … … … … … … … … … … … 187
10．2．1 反正弦函数… … … … … … … … 187
10．2．2 反余弦函数… … … … … … … … 190
10．2．3 反正切函数… … … … … … … … 192
10．2．4 反正割函数… … … … … … … … 194
10．2．5 反余割函数和反余切函数… … … … … … … … … … … … 195
10．2．6 计算反三角函数… … … … … 196
10．3 反双曲函数… … … … … … … … … … … … 199
第11 章导数和图像… … … … … … … … … … … … 202
11．1 函数的极值… … … … … … … … … … … … 202
11．1．1 全局极值和局部极值… … 202
11．1．2 极值定理… … … … … … … … … 203
11．1．3 求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … … 204
11．2 罗尔定理… … … … … … … … … … … … … … 206
11．3 中值定理… … … … … … … … … … … … … … 209
11．4 二阶导数和图像… … … … … … … … … 212
11．5 对导数为零点的分类… … … … … … 215
11．5．1 使用一次导数… … … … … … 215
11．5．2 使用二阶导数… … … … … … 217
第12 章绘制函数图像… … … … … … … … … … … 219
12．1 建立符号表格… … … … … … … … … … … 219
12．1．1 建立一阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 221
12．1．2 建立二阶导数的符号表格… … … … … … … … … … … … 222
12．2 绘制函数图像的全面方法… … … 224
12．3 例题… … … … … … … … … … … … … … … … … 225
12．3．1 一个不使用导数的例子… … … … … … … … … … … … 225
12．3．2 完整的方法：例一… … … 227
12．3．3 完整的方法：例二… … … 229
12．3．4 完整的方法：例三… … … 231
12．3．5 完整的方法：例四… … … 234
第13 章最优化和线性化… … … … … … … … … 239
13．1 最优化… … … … … … … … … … … … … … … 239
13．1．1 一个简单的最优化例子… … … … … … … … … … … … 239
13．1．2 最优化问题：一般方法… … … … … … … … … … … … 240
13．1．3 一个最优化的例子… … … 241
13．1．4 另一个最优化的例子… … 242
13．1．5 在最优化问题中使用隐函数求导… … … … … … … … 246
13．1．6 一个较难的最优化例子… … … … … … … … … … … … 246
13．2 线性化… … … … … … … … … … … … … … … 249
13．2．1 线性化问题：一般方法… … … … … … … … … … … … 251
13．2．2 微分… … … … … … … … … … … … 252
13．2．3 线性化的总结和例子… … 254
13．2．4 近似中的误差… … … … … … 256
13．3 牛顿法… … … … … … … … … … … … … … … 258
第14 章洛必达法则及极限问题总结… … 263
14．1 洛必达法则… … … … … … … … … … … … 263
14．1．1 类型A：0/0 … … … … … … … 263
14．1．2 类型A：±∞/±∞ … … 266
14．1．3 类型B1： (∞-∞) … … 267
14．1．4 类型B2： (0 x±∞) … … 269
14．1．5 类型C： 1±∞，00 或∞0… … … … 270
14．1．6 洛必达法则类型的总结… … … … … … … … … … … … 272
14．2 关于极限的总结… … … … … … … … … 273
第15 章积分… … … … … … … … … … … … … … … … 276
15．1 求和符号… … … … … … … … … … … … … … 276
15．1．1 一个有用的求和… … … … … 279
15．1．2 伸缩求和法… … … … … … … … 280
15．2 位移和面积… … … … … … … … … … … … 283
15．2．1 三个简单的例子… … … … … 283
15．2．2 一段更常规的旅行… … … 285
15．2．3 有向面积… … … … … … … … … 287
15．2．4 连续的速度… … … … … … … … 288
15．2．5 两个特别的估算… … … … … 291
第16 章定积分… … … … … … … … … … … … … … … 293
16．1 基本思想… … … … … … … … … … … … … … 293
16．2 定积分的定义… … … … … … … … … … … 297
16．3 定积分的性质… … … … … … … … … … … 301
16．4 求面积… … … … … … … … … … … … … … … 305
16．4．1 求通常的面积… … … … … … 306
16．4．2 求解两条曲线之间的面积… … … … … … … … … … … … 308
16．4．3 求曲线与y 轴所围成的面积… … … … … … … … … … … 310
16．5 估算积分… … … … … … … … … … … … … … 313
16．6 积分的平均值和中值定理… … … 316
16．7 不可积的函数… … … … … … … … … … … 319
第17 章微积分基本定理… … … … … … … … … 321
17．1 用其他函数的积分来表示的函数… … … … … … … … … …… … 321
17．2 微积分的第一基本定理… … … … … 324
17．3 微积分的第二基本定理… … … … … 328
17．4 不定积分… … … … … … … … … … … … … … 329
17．5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理… … … … … … … … … … … … 331
17．5．1 变形1：变量是积分下限… … … … … … … … … … … … 332
17．5．2 变形2：积分上限是一个函数… … … … … … … … … 332
17．5．3 变形3：积分上下限都为函数… … … … … … … … … 334
17．5．4 变形4：极限伪装成导数… … … … … … … … … … … … 335
17．6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理… … … … … … … … … … … … 336
17．6．1 计算不定积分… … … … … … 336
17．6．2 计算定积分… … … … … … … … 339
17．6．3 面积和绝对值… … … … … … 341
17．7 技术要点… … … … … … … … … … … … … … 344
17．8 微积分第一基本定理的证明… … 345
第18 章积分的方法I… … … … … … … … … … … 347
18．1 换元法… … … … … … … … … … … … … … … 347
18．1．1 换元法和定积分… … … … … 350
18．1．2 如何换元… … … … … … … … … 353
18．1．3 换元法的理论解释… … … 355
18．2 分部积分法… … … … … … … … … … … … 356
18．3 部分分式… … … … … … … … … … … … … … 361
18．3．1 部分分式的代数运算… … 361
18．3．2 对每一部分积分… … … … … 365
18．3．3 方法和一个完整的例子… … … … … … … … … … … … 367
第19 章积分的方法II … … … … … … … … … … 373
19．1 应用三角恒等式的积分… … … … … 373
19．2 关于三角函数的幂的积分… … … 376
19．2．1 sin 或cos 的幂… … … … … 376
19．2．2 tan 的幂… … … … … … … … … 378
19．2．3 sec 的幂… … … … … … … … … … 379
19．2．4 cot 的幂… … … … … … … … … … 381
19．2．5 csc 的幂… … … … … … … … … … 382
19．2．6 约化公式… … … … … … … … … 382
19．3 关于三角换元法的积分… … … … … 384
19．3．1 类型1：pa2 ? x2 … … … 384
19．3．2 类型2：px2 + a2 … … … 386
19．3．3 类型3：px2 ? a2 … … … 387
19．3．4 配方和三角换元法… … … 388
19．3．5 关于三角换元法的总结… … … … … … … … … … … … 389
19．3．6 平方根的方法和三角换元法… … … … … … … … … … … 389
19．4 积分技巧总结… … … … … … … … … … … 391
第20 章反常积分：基本概念… … … … … … 393
20．1 收敛和发散… … … … … … … … … … … … 393
20．1．1 反常积分的一些例子… … 395
20．1．2 其他破裂点… … … … … … … … 397
20．2 关于无穷区间上的积分… … … … … 398
20．3 比较判别法(理论)… … … … … … … … 400
20．4 极限比较判别法(理论)… … … … … 402
20．4．1 函数互为渐近线… … … … … 402
20．4．2 关于判别法的陈述… … … 404
20．5 p 判别法(理论) … … … … … … … … … 405
20．6 绝对收敛判别法… … … … … … … … … 407
第21 章反常积分：如何解题… … … … … … 410
21．1 如何开始… … … … … … … … … … … … … … 410
21．1．1 拆分积分… … … … … … … … … 410
21．1．2 如何处理负函数值… … … 411
21．2 积分判别法总结… … … … … … … … … 413
21．3 常见函数在∞ 和-∞附近的表现… … … … … … … … … … 414
21．3．1 多项式和多项式型函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … … … … … … 415
21．3．2 三角函数在∞ 和-∞ 附近的表现… … … … 417
21．3．3 指数在∞和-∞附近的表现… … … … … … … … … 419
21．3．4 对数在∞ 附近的表现… … … … … … … … … … … … 422
21．4 常见函数在0 附近的表现… … … 426
21．4．1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现… … … 426
21．4．2 三角函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 427
21．4．3 指数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 429
21．4．4 对数函数在0 附近的表现… … … … … … … … … … … … 430
21．4．5 更一般的函数在0 附近的表现… … … … … … … … … 431
21．5 如何应对不在0 或1 处的瑕点… … … … … … … … … … …… … … 432
第22 章数列和级数：基本概念… … … … … 434
22．1 数列的收敛和发散… … … … … … … … 434
22．1．1 数列和函数的联系… … … 435
22．1．2 两个重要数列… … … … … … 436
22．2 级数的收敛与发散… … … … … … … … 438
22．3 第n 项判别法(理论) … … … … … … 442
22．4 无穷级数和反常积分的性质… … 443
22．4．1 比较判别法(理论) … … … 443
22．4．2 极限比较判别法(理论) … … … … … … … … … … … 444
22．4．3 p 判别法(理论)… … … … … 444
22．4．4 绝对收敛判别法… … … … … 445
22．5 级数的新判别法… … … … … … … … … 447
22．5．1 比式判别法(理论) … … … 447
22．5．2 根式判别法(理论) … … … 449
22．5．3 积分判别法(理论) … … … 450
22．5．4 交错级数判别法(理论) … … … … … … … … … … … 453
第23 章求解级数问题… … … … … … … … … … 455
23．1 求几何级数的值… … … … … … … … … 455
23．2 应用第n 项判别法… … … … … … … 457
23．3 应用比式判别法… … … … … … … … … 457
23．4 应用根式判别法… … … … … … … … … 461
23．5 应用积分判别法… … … … … … … … … 462
23．6 应用比较判别法、极限比较判别法和p 判别法… … … … … … … … 463
23．7 应对含负项的级数… … … … … … … … 468
第24 章泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论… … … … … … … … … 472
24．1 近似值和泰勒多项式… … … … … … 472
24．1．1 重访线性化… … … … … … … … 472
24．1．2 二次近似… … … … … … … … … 473
24．1．3 高阶近似… … … … … … … … … 474
24．1．4 泰勒定理… … … … … … … … … 475
24．2 幂级数和泰勒级数… … … … … … … … 478
24．2．1 一般幂级数… … … … … … … … 479
24．2．2 泰勒级数和麦克劳林级数… … … … … … … … … … … … 481
24．2．3 泰勒级数的收敛性… … … 481
24．3 一个有用的极限… … … … … … … … … 485
第25 章求解估算问题… … … … … … … … … … 487
25．1 泰勒多项式与泰勒级数总结… … 487
25．2 求泰勒多项式与泰勒级数… … … 488
25．3 用误差项估算问题… … … … … … … … 491
25．3．1 第一个例子… … … … … … … … 492
25．3．2 第二个例子… … … … … … … … 494
25．3．3 第三个例子… … … … … … … … 495
25．3．4 第四个例子… … … … … … … … 496
25．3．5 第五个例子… … … … … … … … 497
25．3．6 误差项估算的一般方法… … … … … … … … … … … … 499
25．4 误差估算的另一种方法… … … … … 499
第26 章泰勒级数和幂级数：如何解题… … … … … … … …… … … … … 502
26．1 幂级数的收敛性… … … … … … … … … 502
26．1．1 收敛半径… … … … … … … … … 502
26．1．2 求收敛半径和收敛区域… … … … … … … … … … … … 504
26．2 合成新的泰勒级数… … … … … … … … 508
26．2．1 代换和泰勒级数… … … … … 509
26．2．2 泰勒级数求导… … … … … … 511
26．2．3 泰勒级数求积分… … … … … 512
26．2．4 泰勒级数相加和相减… … 514
26．2．5 泰勒级数相乘… … … … … … 515
26．2．6 泰勒级数相除… … … … … … 516
26．3 利用幂级数和泰勒级数求导… … 517
26．4 利用麦克劳林级数求极限… … … 519
第27 章参数方程和极坐标… … … … … … … 523
27．1 参数方程… … … … … … … … … … … … … … 523
27．2 极坐标… … … … … … … … … … … … … … … 528
27．2．1 极坐标与笛卡儿坐标互换… … … … … … … … … … … … 529
27．2．2 极坐标系中画曲线… … … 530
27．2．3 求极坐标曲线的切线… … 534
27．2．4 求极坐标曲线围成的面积… … … … … … … … … … … … 535
第28 章复数… … … … … … … … … … … … … … … … 538
28．1 基础… … … … … … … … … … … … … … … … … 538
28．2 复平面… … … … … … … … … … … … … … … 541
28．3 复数的高次幂… … … … … … … … … … … 544
28．4 解zn = w … … … … … … … … … … … … … 545
28．5 解ez = w … … … … … … … … … … … … … 550
28．6 一些三角级数… … … … … … … … … … … 552
28．7 欧拉恒等式和幂级数… … … … … … 554
第29 章体积、弧长和表面积… … … … … … 556
29．1 旋转体的体积… … … … … … … … … … … 556
29．1．1 圆盘法… … … … … … … … … … … 557
29．1．2 壳法… … … … … … … … … … … … 558
29．1．3 总结和变式… … … … … … … … 560
29．1．4 变式1：区域在曲线和y 轴之间… … … … … … … 561
29．1．5 变式2：两曲线间的区域… … … … … … … … … … … … 562
29．1．6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转… … … … … 565
29．2 一般立体体积… … … … … … … … … … … 567
29．3 弧长… … … … … … … … … … … … … … … … … 571
29．4 旋转体的表面积… … … … … … … … … 574
第30 章微分方程… … … … … … … … … … … … … 578
30．1 微分方程导论… … … … … … … … … … … 578
30．2 可分离变量的一阶微分方程… … 579
30．3 一阶线性方程… … … … … … … … … … … 581
30．4 常系数微分方程… … … … … … … … … 585
30．4．1 解一阶齐次方程… … … … … 586
30．4．2 解二阶齐次方程… … … … … 586
30．4．3 为什么特征二次方程适用… … … … … … … … … … … … 587
30．4．4 非齐次方程和特解… … … 588
30．4．5 求特解… … … … … … … … … … … 589
30．4．6 求特解的例子… … … … … … 590
30．4．7 解决yP 和yH 间的冲突… … … … … … … … … … … … 592
30．4．8 IVP … … … … … … … … … … … … 593
30．5 微分方程建模… … … … … … … … … … … 595
附录A 极限及其证明… … … … … … … … … … 598
A．1 极限的正式定义… … … … … … … … … … 598
A．2 由原极限产生新极限… … … … … … … 602
A．3 极限的其他情形… … … … … … … … … … 606
A．4 连续与极限… … … … … … … … … … … … … 611
A．5 再谈指数函数和对数函数… … … … 616
A．6 微分与极限… … … … … … … … … … … … … 618
A．7 泰勒近似定理的证明… … … … … … … 627
附录B 估算积分… … … … … … … … … … … … … 629
B．1 使用条纹估算积分… … … … … … … … 629
B．2 梯形法则… … … … … … … … … … … … … … 632
B．3 辛普森法则… … … … … … … … … … … … … 634
B．4 近似的误差… … … … … … … … … … … … … 636
符号列表… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 640
索引… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 643
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